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저는 고1 때 수학을 포기했습니다. 정확히는 포기당했다고 표현하는 게 더 맞을 것 같습니다. 공식을 외우고 문제를 풀었지만 뭘 하고 있는지 도무지 이해가 되지 않았고, 결국 인문계를 선택했습니다. 그런데 지금 아이를 키우면서 수학 교육에 대해 다시 들여다보게 됐습니다. 제가 왜 그렇게 수학이 싫었는지, 그 이유가 이제야 좀 보이는 것 같습니다.
공식 암기가 오히려 수학을 망친다 — 보상 해킹의 함정
100m 길이의 도로에 10m 간격으로 나무를 심으면 몇 그루일까요? 저는 이 질문을 처음 들었을 때 당연히 10개라고 답했습니다. 100 나누기 10이니까요. 그런데 정답은 11개입니다. 출발점에도 나무가 한 그루 있으니까요. 공식에 기댄 순간 맨 처음 나무를 통째로 빠뜨린 겁니다. 제 수학 시절 전체가 이 실수의 반복이었던 것 같습니다.
이런 현상을 교육학에서는 보상 해킹(Reward Hacking)이라고 부릅니다. 여기서 보상 해킹이란 진짜 목표는 이해인데, 시험 점수라는 보상만을 최대화하는 방향으로 학습 전략이 왜곡되는 현상을 의미합니다. 원래 인공지능 학습 이론에서 나온 개념인데, 실제 인간의 공부 방식에도 정확히 들어맞습니다. 저도 중학교 때 국어 시간에 책은 읽지 않고 출제 패턴만 외웠는데, 돌아보면 수학에서도 똑같이 했습니다. 개념은 건너뛰고 공식만 들고 문제 앞에 섰던 겁니다.
수학 교과서의 진짜 목적은 공식 자체가 아닙니다. 그 공식이 만들어지기까지의 사고 과정, 개념들 사이의 관계를 이해하는 것이 핵심입니다. 그런데 저는 그 과정을 통째로 건너뛰었습니다. 솔직히 이건 제가 게을렀던 것도 있지만, 주변에서 "모르면 외워라"는 말을 너무 자주 들었던 탓도 있습니다. 단기 시험에는 효과가 있었을지 모르지만, 고등학교 올라가서는 그 방식이 완전히 무너졌습니다.
이해 없는 암기가 단기 성적에는 도움이 될 수 있다고 보는 시각도 있습니다. 하지만 제 경험상 이건 한계가 너무 명확합니다. 수능 수학이나 대학 과정으로 넘어가면, 외운 공식이 통하지 않는 상황이 반드시 옵니다. 그때 갑자기 사고력을 키우려 해도 이미 늦습니다. 저처럼 결국 포기하게 됩니다.
- 보상 해킹: 시험 점수라는 보상만 좇다가 진짜 이해를 놓치는 현상
- 이해 없는 암기는 단기 효과는 있지만 수학 사고력 형성을 막음
- 공식을 왜 외우는지보다, 그 공식이 왜 성립하는지를 먼저 생각해야 함
- 수학 교육의 진짜 목표는 생각하는 방법, 즉 수학적 사고력을 기르는 것
호기심이 시든 아이에게 피타고라스 음계로 수학을 보여준다면
아이가 서랍을 다 뒤집어엎고, 물건을 깨고, 갑자기 어딘가로 사라지는 시기가 있습니다. 저도 지금 그 시기를 통과 중입니다. 처음에는 위험하다, 안 된다는 말이 먼저 나왔는데, 어느 순간 이게 다 탐색 본능이라는 걸 알게 됐습니다. 인공지능 학습 이론에서도 탐색(Exploration)과 활용(Exploitation)을 구분합니다. 탐색이란 아직 가보지 않은 방향을 시도하는 것이고, 활용이란 이미 알고 있는 방법으로 효율을 높이는 것입니다. 어릴 때는 탐색을 최대한 많이 해야 한다는 게 이 이론의 핵심입니다.
문제는 이 탐색 본능, 즉 호기심이 폭발하는 시기가 영원하지 않다는 데 있습니다. 연구에 따르면 호기심은 대략 10~12세를 정점으로 서서히 줄어들기 시작합니다. 절대음감(Perfect Pitch)이 특정 나이 이전에만 형성되듯, 호기심을 생각의 도구로 쓰는 습관도 특정 시기를 놓치면 되돌리기 어렵습니다. 절대음감이란 음을 들었을 때 기준음 없이 정확한 음높이를 식별하는 능력으로, 어릴 때 청각적 자극이 풍부한 환경에서 형성됩니다. 호기심도 이와 같은 임계기(Critical Period)가 존재한다는 게 제가 받아들인 결론입니다(출처: American Psychological Association, Developmental Psychology).
그래서 저는 아이가 뭔가를 혼자 해보려 할 때 최대한 기다리는 쪽을 택하고 있습니다. 물론 할머니, 아내와 기준이 달라서 가끔 부딪히기도 합니다. 저는 넘어져도 보고, 쏟아봐도 된다고 생각하는데, 옆에서 먼저 받아주면 아이가 스스로 해냈다는 감각을 얻지 못합니다. 그 감각이 호기심을 계속 살아있게 하는 연료라고 봅니다.
여기서 피타고라스 음계 이야기를 빼놓을 수 없습니다. 피타고라스 음계란 기원전 약 2,500년 전 피타고라스가 현(줄)의 길이 비율을 정수비로 나누어 음높이를 정의한 음률 체계입니다. 지금 우리가 쓰는 도레미파솔라시도 7음계가 바로 이 피타고라스 음계에 기원을 두고 있습니다. 저는 음악을 꽤 좋아하는 편인데, 솔직히 음계가 수학에서 나왔다는 건 알았어도 피타고라스가 그것을 직접 설계했다는 건 몰랐습니다. 이걸 알게 된 순간 꽤 충격을 받았습니다.
실제로 고무줄을 팽팽하게 당겨 놓고 절반 지점을 눌러 튕기면 한 옥타브 높은 소리가 납니다. 2대 1 비율이 옥타브, 3대 2 비율이 5도 음정에 해당합니다. 이 정수비 원리가 피아노 건반 뒤쪽 현들의 길이 설계에도 그대로 적용되어 있습니다(출처: Encyclopaedia Britannica, Pythagorean Tuning). 저는 아이들 둘 다 피아노를 가르칠 계획인데, 단순히 악보를 읽는 기술이 아니라 이런 원리를 함께 느끼게 해주고 싶습니다. 유리컵에 물을 높이를 달리해서 채워 놓고 두드려 보는 것만으로도 피타고라스가 2,500년 전에 발견한 그 수학을 직접 경험할 수 있습니다. 아빠와 같이 연주하면서 정서적인 교감까지 할 수 있다면 더할 나위 없겠습니다.
자주 묻는 질문
Q. 수학을 공식 위주로 외워서 공부했는데 나중에 진짜 문제가 될까요?
A. 일반적으로 공식 암기로도 어느 정도 성적이 나온다고 알려져 있지만, 제 경험상 한계는 생각보다 일찍 옵니다. 고등학교 수준만 넘어가도 외운 공식으로 해결이 안 되는 문제가 등장하고, 그때 사고력이 없으면 막히게 됩니다. 단기 성과와 장기 역량은 분명히 다릅니다.
Q. 아이 수학 호기심은 몇 살 이전에 잡아줘야 하나요?
A. 정확한 나이는 아이마다 다를 수 있지만, 전문가들은 대체로 10세 이전을 핵심 시기로 봅니다. 절대음감과 마찬가지로 호기심을 생각의 도구로 활용하는 습관도 특정 임계기가 지나면 형성하기 어려워진다고 봅니다. 그 전에 탐색하고 질문하는 경험을 최대한 많이 쌓아주는 게 중요합니다.
Q. 피타고라스 음계가 지금 피아노에도 쓰이나요?
A. 현대 피아노는 평균율(Equal Temperament)을 사용하지만, 평균율 자체가 피타고라스 음계의 정수비 원리를 12음으로 균등하게 나눈 것에서 발전한 체계입니다. 도와 한 옥타브 높은 도의 관계가 현의 길이 2대 1 비율이라는 원리는 지금도 그대로 적용됩니다.
Q. 수포자 부모도 아이 수학 교육에 도움을 줄 수 있나요?
A. 저도 수포자이지만, 공식을 가르치는 것보다 아이의 호기심을 지켜주는 역할이 더 중요하다고 봅니다. 유리컵 물 실험처럼 수학적 원리를 놀이로 경험하게 해주는 것, 아이가 스스로 뭔가를 해보려 할 때 기다려 주는 것만으로도 충분한 기여가 됩니다.
결론
저는 수학을 너무 일찍 포기했고, 그 이유가 이해가 아닌 암기에만 매달렸기 때문이라는 걸 아이를 키우면서 비로소 이해했습니다. 수학적 사고력이란 공식을 많이 아는 것이 아니라 모르는 문제 앞에서 생각을 이어가는 힘인데, 그 힘은 호기심이 살아있을 때만 길러집니다. 그 시기가 지나가기 전에 아이가 마음껏 탐색하고 질문하고 스스로 해보는 환경을 만들어 주는 게 제가 할 수 있는 가장 중요한 일이라는 생각입니다.
다행히 아내가 이과 출신이라 수학적 감각을 직접 가르치는 역할은 많이 기댈 수 있을 것 같습니다. 저는 대신 아이의 호기심이 핀잔에 꺾이지 않도록 옆에서 지켜주는 역할을 하려 합니다. 피아노를 배우면서 피타고라스 음계의 원리를 함께 느끼고, 유리컵 물 실험처럼 수학이 놀이가 될 수 있다는 걸 몸으로 경험하게 해주고 싶습니다. 수학을 잘하는 아이보다, 수학이 무서운 것이 아니라는 걸 아는 아이로 키우고 싶은 게 지금 제 솔직한 목표입니다.